Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу
ua  rus  en
Міністерство освіти і науки України
ДНУ Вісник Дніпропетровського університету
Серія "Економіка"

Наукове видання
  • УДК 336:519
  • ISSN 9125 0912
  • Свідоцтво про державну реєстрацію друкованого засобу масової інформації КВ № 7898 від 17.09.2003 р.
  • Збірник включено до Переліку наукових фахових видань України (пункт 118), у яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт на здобуття наукових ступенів доктора і кандидата наук з економічних наук (Постанова президії ВАК України № 1-05/3 від 08.07.2009)
 

МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

УДК 330.36.012.04

Ю. Т. Олейник

Макеевский экономико-гуманитарный институт, Украина

Методами теорії катастроф досліджуються якісні характеристики ринкового положення мікроекономічних систем при реалізації інноваційних стратегій.

Ключові слова: динамічна модель, інновація, мікроекономічна система, рівноважне рішення, теорія катастроф, стійкість.

Методами теории катастроф исследуются качественные характеристики рыночного положения микроэкономических систем при реализации инновационных стратегий.

Ключевые слова: динамическая модель, инновация, микроэкономическая система, равновесное решение, теория катастроф, устойчивость.

By applying the methods of the theory of catastrophes the qualitative characteristics of the market position of microeconomic systems in the phase space of innovative strategies are investigated.

Keywords : dynamic model, innovation, micro-economic system, the equilibrium solution, catastrophe theory, stability.

Механизм устойчивого роста экономики Украины может базироваться только на инновационной амортизационной, воспроизводственной, научно-технической и инвестиционной политике, инновационных изменениях структуры производства и его диверсификации. Этот базис сбалансированного структурного развития конкурентоспособной экономики необходимо заложить именно в настоящем периоде выхода из экономического спада, используя рычаги ответственного многоэтапного жестко последовательного и одновременно гибкого государственного регулирования.

Определяющую роль в инновационном прогрессе экономики играют предприятия и предпринимательские объединения, эффективность и адаптивные свойства инновационных стратегий которых напрямую обуславливают масштабы внедрения инноваций во все звенья общественного производства и темпы экономического роста. Но внешние возмущения и рисковые явления, сопровождающие процесс разработки и реализации нововведений на микроуровне, способны порождать ситуации динамической неопределенности и могут приводить к неустойчивости рыночного положения компании из-за непредсказуемости поведения потребителей и комплексного воздействия остальных факторов внешней и внутренней среды. Сочетание неустойчивости и рисков инновационного развития с нестабильностью внешней среды в силу динамического характера экономической эволюции, цикличности периодов экономического роста и кризисных явлений вызывает необходимость теоретического обоснования эффективности инновационных процессов на микроуровне и разработки методов прогнозирования возможных сопутствующих неблагоприятных последствий. Этим определяется актуальность модельного описания микродинамики инновационного развития и исследования на его основе влияния новшеств на качественные характеристики рыночного положения микроэкономических систем.

Интенсивные исследования динамики социоэкономических систем как на макро-, так и на микроуровне в настоящее время связывают с теорией экономической динамики – активно развивающимся направлением современного экономического анализа. Абсолютное большинство моделей экономической динамики – это модели равновесия, использующие в качестве математического аппарата обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы [1–4 и др.]. Методы качественного исследования динамических систем, составляющие содержание теории устойчивости и бифуркаций, являются эффективным инструментарием получения информации о процессах, протекающих в моделируемых реальных системах. Использование этой методологии позволяет провести достаточно полный анализ динамики рыночного положения экономических систем в результате нововведений. Но такой подход порождает по крайней мере две серьезные проблемы: техническую – приходится иметь дело с весьма сложными задачами качественного исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений; методологическую – необходимость поиска путей преодоления ограниченности возможностей традиционного динамического анализа в исследовании неравновесных экономических процессов.

В настоящей работе развивается альтернативный подход, основанный на применении методов теории катастроф, что, во-первых, предоставляет инструментарий сравнительно простого выявления особенностей экономической микродинамики, недоступных для качественной теории дифференциальных уравнений, во-вторых, позволяет наглядно объяснить причины возникновения обнаруживаемых нелинейных эффектов, и в-третьих, сопоставить эти результаты с выводами, полученными ранее на основе традиционного динамического анализа. Как справедливо заметил один из создателей теории катастроф, известный математик В. И. Арнольд, «…теория катастроф дает универсальный метод исследова ния всех скачкообразных переходов, разрывов, качественных изменений» [5, с. 7]. Но тем не менее приложений теории катастроф к экономическим проблемам чрезвычайно ограниченное число [4, с. 61].

Работа продолжает цикл публикаций автора по моделированию динамики инновационного развития микроэкономических систем, в которых проведена структуризация инновационных рыночных стратегий корпоративного менеджмента, проанализированы их системные и динамические свойства, методами теории устойчивости и бифуркаций выявлены и классифицированы динамические эффекты, возникающие при выводе на рынок товарных новшеств [6–8].

Целью настоящей работы является критический анализ ранее полученных выводов и достижение существенно новых результатов на основе использования методов теории катастроф для моделирования и теоретического исследования объективных закономерностей экономической микродинамики. Концептуальным оправданием системного использования различных подходов служит повышение полноты и уровня обоснованности получаемых результатов, а значит иобщей продуктивности построения и исследования моделей инновационного развития. В работе использованы основные результаты элементарной теории катастроф [2; 5; 9; 10].

Постановка задачи

Общая модель микроэкономической динамики, полученная автором в работе[6], имеет вид

Формула (1)

где Формула , Формула , Формула – эволюционные кривые, описывающие динамику рыночного положения экономической системы. В экономической динамике и синергетической экономике экономическая эволюция трактуется как необратимый процесс, в понимании которого существенную роль играет время, поэтому время входит в качестве независимой переменной в описание основных переменных динамической модели [2, с. 16, 27].

Важнейшим свойством динамической системы является зависимость ее поведения от бифуркационных параметров (одного или нескольких), переход которых через определенные (критические) значения приводит к качественным изменениям. Как отмечает основатель синергетической экономики В.-Б. Занг, « Для полного понимания поведения системы знание ее бифуркационных параметров абсолютно необходимо » [2, с. 61]. Поскольку качественные характеристики рыночного положения экономической системы существенно зависят от уровня инновационности используемых ею стратегий, в качестве такого параметра моделирующей ее поведение динамической системы принят управляющий маркетинговый параметр Формула , характеризующий соотношение предложения новшеств и общего объема выводимых предприятием на рынок товаров и услуг. Интервал Формула соответствует стратегии ориентации на традиционную продукцию и ее модификации, значение Формула является точкой перехода к инновационной продукции, а промежуток Формула определяет область вывода на рынок товарных новшеств.

Наряду с эндогенными переменными и параметрами, отражающими влияние внутренних возможностей экономической системы, ее производственного и ресурсного потенциалов, стратегических целей (направленных как на адаптацию кусловиям внешней среды, так и на их изменение), модель микроэкономической динамики необходимо должна включать экзогенные параметры, учитывающие воздействие факторов внешней среды. Поэтому в рассмотрение введены неотрицательные величины Формула – параметры, характеризующие уровень противодействия принимаемых тактических решений дестабилизирующим факторам в обеспечении удержания системы на определяемой стратегией равновесной траектории (величину возмущения или неопределенности системы).

В.-Б. Занг указывает, что « В общем случае динамические взаимодействия между экономическими переменными описываются … системами дифференциальных уравнений » [2, с. 36]. При этом различные подходы к микроэкономической динамике имеют различные точки зрения на то, как определять конкретные функциональные формы правой части (1). В соответствии с методологией, используемой в [3], скорость адаптации к рыночной ситуации (скорости изменения функций Формула , Формула , Формула ) определяется системным использованием инновационных рыночных стратегий, то есть развитием внутренних возможностей, вариацией целей и активной маркетинговой стратегией, а также инерцией (степенью запаздывания) управленческих решений.

Как следует из проведенного рассмотрения, в целом методология построения динамической модели (1) основана на представлении инновационных процессов как функций времени, принимаемых стратегических и тактических решений, атакже последовательности состояний экономической системы и внешнего окружения. Реализованный подход, несмотря на очевидные компактность и относительную простоту построенной в результате его использования модели, обеспечивает ей необходимые адекватность и универсальность (широту области применимости). При этом сложность поведения моделируемого класса экономических систем, использующих различные стратегии внутреннего развития и взаимодействия с нестабильной и неопределенной внешней средой, объективно отражается в нелинейности полученных зависимостей, обусловленной существованием набора возможных равновесных траекторий движения в фазовом пространстве стратегий динамической системы.

Микроэкономическая динамика и теория катастроф

Катастрофами называют скачкообразные изменения, возникающие в виде ответа системы на плавное изменение внешних условий [5, с. 8]. Теория катастроф изучает внезапные резкие качественные изменения состояний динамических систем, являющиеся результатом медленных гладких малых изменений параметров [2, с.80]. Ее подходы по существу представляют собой методологию моделирования нарушений непрерывности развивающихся процессов, позволяя описывать разнообразие разрывов с единой математической точки зрения и получать удовлетворительное теоретическое обобщение этих явлений. Методы теории катастроф могут быть использованы для качественной характеристики различных типов экономической динамики путем выявления геометрических структур, отражающих как медленные изменения, так и возникновение особенностей в динамических системах, описываемых гладкими функциями с ограниченным количеством параметров при любом числе переменных.

Рассмотрим динамическую систему (1) с точки зрения элементарной теории катастроф [2; 5; 9; 10]. Покажем, что ее поведение можно характеризовать эволюцией специфической гладкой (необходимое число раз дифференцируемой) функции Формула , критические точки которой совпадают с точками равновесия исходной системы, а вдали от равновесия Формула неограниченно убывает. Геометрически функция Формула описывает « ландшафтную » поверхность, на которой движение изображающей точки всегда будет происходить вниз по склону. Поверхность ( « ландшафт » ) Формула дает достаточно хорошую модель системы, характеризуя потенциальную энергию изображающей точки [10].

Введем предположение, что система (1) в окрестности начала координат обладает потенциальной функцией Формула , удовлетворяющей условиям [2, с.72]:

Формула

Поскольку функция Формула характеризует « потенциал » точек фазового пространства, то изображающая точка будет двигаться в сторону уменьшения значений Формула (уменьшения « потенциала » ), либо приближаясь к критической точке, либо удаляясь в направлении Формула . При этом точкам минимума потенциальной функции Формула будут отвечать положения устойчивого равновесия, а точкам максимума и седловым точкам – положения неустойчивого равновесия [10]. Таким образом, форма графика функции Формула определяет поведение динамической системы в фазовом пространстве, и для его характеристики необходимо иметь информацию о локальном представлении функции Формула вблизи критической точки.

Для тривиального равновесного решения Формула системы (1) найдем вторые производные потенциальной функции

Формула

и составим матрицу устойчивости (матрицу Гессе) [10, с. 78]

Формула (2)

Одним из главных математических источников теории катастроф является классификация типов критических точек [9, с. 76]. Стационарные точки функции Формула , в которых определитель матрицы устойчивости Формула , называются вырожденными, или неморсовыми критическими точками. Критические точки с Формула называют невырожденными критическими точками Морса. Критические точки Морса являются изолированными (то есть такими, что в их окрестности не лежит больше ни одного состояния равновесия), а неморсовы критические точки, как правило, неизолированы [9, с. 79, 82].

Морсовские критические точки обладают важным свойством устойчивости, то есть свойством сохранения своего типа при малых возмущениях [9, с. 76]. Вокрестности критических точек Морса соответствующая лемма гарантирует представление потенциала Формула в виде квадратичной формы, называемой Формула -седлом Морса [2, с. 73; 9, с. 80–81]:

Формула , (3)

где Формула – действительные части собственных значений матрицы устойчивости, взятые со своими знаками;

Формула – некоторые гладкие преобразования исходных переменных, удовлетворяющие условиям Формула . Число Формула представляет собой инвариант топологического типа критической точки в том смысле, что гладкие обратимые замены координат (диффеоморфизмы) не изменяют Формула [9, с. 82].

Поскольку правые части системы дифференциальных уравнений (1) не все являются многочленами, найти новые координаты Формула удается лишь в некоторых простейших случаях. В общем случае это довольно сложная задача [10]. Но в ее решении, как правило, нет необходимости, так как в дальнейшем речь идет окачественных характеристиках поведения потенциальной функции в окрестности критической точки.

Характеристическое уравнение матрицы устойчивости (2)

Формула (4)

имеет при Формула нулевой корень Формула , а для значений входного параметра Формула – отрицательный корень Формула Следовательно, начало координат является неизолированной вырожденной сложной (неморсовой) стационарной точкой для Формула , а при Формула – неустойчивой изолированной невырожденной критической точкой или неустойчивым седлом Морса [2, с.73].

Остальные два характеристических корня находятся из уравнения

Формула

откуда

Формула

Таким образом, характеристическое уравнение (4) в области Формула , кроме корня Формула еще имеет:

1. при Формула – два положительных корня Формула

2. при Формула – два комплексных корня с положительными равными действительными частями Формула

3. при Формула – два чисто мнимых корня с Формула

4. при Формула – два комплексных корня с отрицательными действительными частями Формула

Исследуем топологическую структуру фазового пространства траекторий рассматриваемой динамической системы. В соответствии с (3) в случаях 1) – 2) потенциальная функция в окрестности критической точки может быть представлена в виде квадратичной формы

Формула (5)

или 1-седла Морса. Уравнение семейства эквипотенциальных поверхностей (поверхностей постоянного потенциала, поверхностей уровня)

Формула

для Формула можно записать в виде

Формула (6)

где Формула Формула

Для Формула получаем уравнение

Формула (7)

где Формула

Таким образом, для Формула поверхности положительного потенциала представлены семейством однополостных (6), а поверхности отрицательного потенциала – семейством двуполостных (7) гиперболоидов с центром в начале координат, являющимся неустойчивой седловой точкой (в состоянии равновесия локально устойчивы только Формула -седла Морса [2, с. 73]).

При Формула потенциальная функция отрицательна, имеет вид (5) с Формула и Формула , то есть является локально-неустойчивым 3-седлом Морса. Ее поверхностями уровня служат эллипсоиды вращения

Формула (8)

с полуосями Формула . Поскольку Формула , эллипсоиды сжаты (с коэффициентом сжатия Формула ) относительно оси вращения Формула (кплоскости Формула ). Действительных точек с положительным потенциалом ок рест ность состояния равновесия не имеет, поэтому начало координат – неустойчивая точка максимума потенциала.

Для значения входного параметра Формула матрица устойчивости (2) имеет одно отрицательное Формула и два чисто мнимых собственных значения сравными нулю вещественными частями Формула . Соответственно потенциальная функция имеет вид локально неустойчивого 1-седла Морса

Формула (9)

Семейство линий постоянного потенциала можно получить как пересечение поверхностей (7) и (8) при Формула (тот же результат получается непосредственно из (9):

Формула Формула

Критическая точка Формула – глобально неустойчива, поскольку произвольные малые изменения Формула в окрестности значения Формула приводят к неустойчивости.

При Формула матрица устойчивости сингулярна, ее определитель

Формула

обращается в нуль, начало координат – вырожденная неизолированная неморсова критическая точка. В этом случае лемма Морса не гарантирует существования гладкого преобразования переменных, представляющего потенциальную функцию в виде квадратичной формы [2, с. 73]. Состояние равновесия при Формула представляет собой, как показано в [9], пространственный седло-узел (рис. 1). Иначе говоря, в терминах теории катастроф, в фазовом пространстве наблюдается так называемая картина необщего положения (исключительный случай), соответствующая вырожденной системе [5, с. 21].

Формула

Рис. 1. Смена качественных структур в окрестности состояния равновесия

Вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается, как в данном случае, однопараметрическое семейство динамических систем. « При этом – подчеркивает В. И. Арнольд , – исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение » [5, с. 19]. При переходе параметра через значение Формула вправо вырожденная система преобразуется в невырожденную, фазовое пространство разделяется на области, образованные поверхностями общего положения. Начало координат устойчиво при Формула и неустойчиво, если Формула , причем при Формула от него ответвляется другое равновесное решение, поскольку в этом слу чае Формула – неизолированная (сложная) критическая точка. На отрезке Формула медленной прямой Формула вырожденная поверхность трансформируется в невырожденную область гиперболических точек, которая затем перестраивается в область эллиптических точек на Формула . Эти две области при Формула разделяет общая граница – линия параболических точек.

Особый характер значения Формула управляющего параметра определяется тем, что при переходе через него действительные части характеристических корней матрицы устойчивости (2) меняют знаки. Соответственно меняется икартина общего положения. Если при Формула « ландшафтная » поверхность Формула имеет участки как отрицательного, так и положительного потенциала, то для Формула она «опускается» ниже нулевой отметки. Изменяется структура фазового пространства Формула вблизи особой точки Формула – исчезают эквипотенциальные поверхности положительного потенциала, 1-седло Морса преобразуется в 3-седло.

Проблемный анализ результатов

Проведенное исследование поведения потенциальной функции катастроф Формула динамической системы (1) приводит к следующим выводам.

1. Бифуркация на устойчивую и неустойчивую ветви развития происходит уже на начальном этапе выхода на товарный рынок – экономическая система теоретически может оказаться как в неустойчивом, так и в устойчивом состоянии в зависимости от содержания и направленности стратегических решений иуправляющих тактических воздействий, а также реакции внешней среды. Переход к выводу на рынок модифицированной продукции и выход из состояния динамической неопределенности также сопряжен как с попаданием в кризисное состояние неустойчивости, так и с экономическим успехом в случае положительной реакции рынка. Эти результаты полностью согласуются с выводами охарактере устойчивости тривиального равновесного решения, основанными на использовании методов теории устойчивости и бифуркаций [9]. Качественные характеристики равновесных траекторий динамических систем и критические значения входного параметра, при которых устойчивость стационарных состояний нарушается и происходит ветвление решений (фазовый переход в область качественно иной динамики), независимо найденные как на основе применения теории устойчивости и бифуркаций, так и с использованием методов теории катастроф, полностью совпадают.

Состояние процесса ( y ) в зависимости от изменения входного параметра Формула характеризует бифуркационная диаграмма, приведенная на рис.2, где сплошной линией обозначена устойчивая ветвь (кривая Г), а пунктиром – неустойчивая (прямая на оси Формула ). Диаграмма наглядно показывает, что уже на этапе вывода на рынок модифицированной продукции нулевое равновесие (при неизменности используемой стратегии) становится неустойчивым, и устойчивость инновационного развития может быть обеспечена только переходом на бифуркационную ветвь путем тактической адаптации (вариации параметров Формула ) крыночному спросу.

2.Удалось выявить эквипотенциальные поверхности, на которых сохраняется определенный тип динамики рыночного положения экономической системы, определить их топологию и получить соответствующие уравнения в явном виде, чего не позволяют методы динамического анализа. В достаточно малой окрес тности начала координат показано существование симметричных поверхностей (различных при разных значениях входного параметра), на которых динамическая система не меняет качественного характера своего поведения. На этих геометрических структурах в фазовом пространстве стратегий качественные характеристики устойчивости рыночного положения отображаемой экономической системы неизменны. Иначе говоря, ее желаемое состояние может достигаться при различных незначительных вариациях рыночной стратегии (различных тактических управляющих воздействиях), что предоставляет определенную свободу маневра ресурсами и целями в условиях изменчивости потребностей рынка.

Формула

Рис.2. Бифуркационная диаграмма общей модели микроэкономической динамики

Выводы. Обобщение результатов проведенного исследования показывает, что применение методов теории катастроф, сфокусированных на представлении эволюции динамических систем как топологических трансформаций фазового пространства траекторий, позволило сравнительно несложно, без использования трудоемких методов качественной теории дифференциальных уравнений, провести исследование характеристик микроэкономической динамики инновационного развития и при этом как подтвердить полученные ранее выводы, так и достичь существенно новых результатов. К тому же использование геометрических моделей придает этим результатам необходимую для получения качественных выводов наглядность [10]. Полученные выводы уточняют положения классического экономического анализа об условиях устойчивости рыночного положения микроэкономических систем, дополняют результаты, полученные на основе использования методов теории устойчивости и бифуркаций, соответствуют экономическим реалиям и могут оказаться полезными при выборе, разработке и обосновании той или иной стратегической концепции инновационного развития вусловиях трансформационной экономики.

Предложение модифицированных или качественно новых товаров и услуг ведет, как известно, к неоднородному рынку, на котором действуют эффекты образования и замещения спроса [11, с. 327]. Поэтому предметом дальнейших исследований очевидно должны быть выявление и анализ причинно-следственных взаимосвязей эффектов образования и замещения спроса с бифуркационными явлениями и возникновением ситуаций динамической неопределенности в результате использования инновационных стратегий и политики дифференциации продукта, проводимой предпринимателем.

Бібліографічні посилання

1. Акаев А. А. Анализ решений общего уравнения макроэкономической динамики / А.А. Акаев // Экономика и математические методы. – 2008. – Т. 44, № 3. – С. 62–78.

2. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории : пер. с англ. / В.-Б. Занг. – М. : Мир, 1999. – 335 с.

3. Кузнецов В. В. Об устойчивости рыночного положения фирмы / В. В. Кузнецов, В.В.Фирсакова // Экономика и математические методы. – 2000. – Т. 36, № 3. – С.136–139.

4. Тимохин В. Н. Методология моделирования экономической динамики : монография / В. Н. Тимохин ; науч. ред. Ю. Г. Лысенко. – Донецк : Юго-Восток, 2007. – 269 с.

5. Арнольд В. И. Теория катастроф / В. И. Арнольд. – 3-е изд., доп. – М. : Наука, 1990. – 128 с.

6. Олейник Ю. Т. Инновационные стратегии и устойчивость рыночного положения фирмы / Ю. Т. Олейник // Экономические инновации : сб. науч. тр. Вып. 23. Украинское Причерноморье в конкурентном экономическом пространстве (конкурентоспособность товаров и товаропроизводителей в условиях глобализации) ; [гл. ред. Б.В. Буркинский]. – О . : Ин-т проблем рынка и экономико-экологических исследований НАН Украины, 2005. – С. 73–83.

7. Олейник Ю. Т. Исследование равновесных траекторий микроэкономических систем вусловиях смешанных инновационных стратегий / Ю. Т. Олейник // Экономические инновации : сб. науч. тр. Вып. 30. Локальные экономические системы в экономическом, социальном и экологическом пространстве ; [гл. ред. Б. В. Буркинский]. – О . : Ин-т проблем рынка и экономико-экологических исследований НАН Украины, 2007.– С. 282–294.

8. Олейник Ю. Т. Микродинамика инновационных экономических систем / Ю. Т. Олейник / / Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики (МДОЗМФ–2009) : праці XIV Міжнар. симпозіуму. Ч. 2 / гол. ред. Н. А. Азаренков ; ХНУ ім. В. Н. Каразина. – Х. : ХНУ ім. В. Н. Каразина, 2009. – С. 390–393.

9. Постон Т. Теория катастроф и ее применения / Т. Постон, И. Стюарт. – М. : Мир, 1980. – 608 с.

10. Чиллингуорт Д. Структурная устойчивость математических моделей. Значение методов теории катастроф / Д. Чиллингуорт // Математическое моделирование / ред. Дж. Эндрюс, Р.Мак-Лоун ; [пер. с англ. под ред. Ю. П. Гупало]. – М. : Мир, 1970. – С. 249–276.

11. Фель У. Основы микроэкономики / У. Фель, П. Оберендер ; пер. с нем. 6-го изд. под ред. А. П. Наливайко. – К. : Укртиппроект, 1997. – 478 с.

Надійшла до редколегії 25.05.2012














Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу

© Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, 2011-2015

Рейтинг@Mail.ru