Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу
ua  rus  en
Міністерство освіти і науки України
ДНУ Вісник Дніпропетровського університету
Серія "Економіка"

Наукове видання
  • УДК 336:519
  • ISSN 9125 0912
  • Свідоцтво про державну реєстрацію друкованого засобу масової інформації КВ № 7898 від 17.09.2003 р.
  • Збірник включено до Переліку наукових фахових видань України (пункт 118), у яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт на здобуття наукових ступенів доктора і кандидата наук з економічних наук (Постанова президії ВАК України № 1-05/3 від 08.07.2009)
 

УДК 330.115:338.95

В. Я. Нусінов, Є. К. Бабець, І. Є. Афанасьєв

Криворізький національний університет

МЕТОДОЛОГІЧНІПІДХОДИ ЩОДО ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ КОМПЛЕКСНОГО ВИКОРИСТАННЯ РЕСУРСІВПІДПРИЄМСТВ ГІРНИЧОРУДНОЇ ГАЛУЗІ

Узагальнено прикладні аспекти моделювання економічного ризику в процесі виробничо-господарської діяльності гірничо-збагачувального підприємства. Розроблено методологічніпідходи щодо раціоналізації виробничих процесів залізовидобувних підприємств.

Ключові слова: невизначеність, конфліктність,ризик, змішана стратегія.

Обобщены прикладные аспекты моделирования экономическогориска в процессе производственно-хозяйственной деятельности горно-обогатительного предприятия. Разработаны методологические подходы крационализации производственных процессов железодобывающих предприятий.

Ключевые слова: неопределенность, конфликтность, риск, смешанная стратегия.

The applied aspects ofeconomic risk’s modeling in the process of the productive – economic activityof the mining – enrichment enterprise are generalized. The methodologicapproaches to the production processes rationalization of the iron – extractionenterprises are elaborated

Keywords: uncertainty conflictness, risk, mixed strategy.

Гірничодобувніпідприємства й тим більше виробничі об'єднання є складними динамічнимисистемами, стан яких визначається безліччю факторів, умов, які безупинно змінюютьсяв просторі й у часі. Моделювання таких систем характеризується великоюскладністю, яка обумовлює в чималому ступені те, що в планово-економічнійпрактиці часто завдання планування розвитку виробництва формулюються не завждикоректно, з урахуванням різнотипних факторів і в неоднаковій шкалі їхньоїоцінки. Тому актуальними постаютьпроблеми щодо виділення основних видів завдань планування розвитку об'єктівгірничорудного підприємства (ГРП), які повинні супроводжуватися певнимиузагальненнями, без яких неможливе впорядкування завдань і їх забезпечення щодоекономіко-математичного моделювання зазначених процесів виробничо-економічноїдіяльності підприємства. Усі менеджери в будь-якій сфері фінансово-економічноїдіяльності ГРП зацікавлені у зведенні до мінімуму економічного ризику тапов’язаних із ним небажаних наслідків, а тим більше – значних збитків [1,с.82–83;2,с.9; 3,с.134; 4,с.155; 5,с.3–6].За умов нестабільності та швидкої зміни виробничо-економічної ситуації ГРПсуб’єкти фінансово-економічної діяльності змушені враховувати всі можливінаслідки дій своїх конкурентів, а також інших змін у ринковому середовищі.

Таким чином,можливі ситуації щодо спотворення реальної діяльності підприємства. Але,незважаючи на все це, мета науковогодослідження, на нашу думку, має бутиспрямована на гранично точне відображення явищ і процесіввиробничо-економічної діяльності підприємства. Зрозуміло, що це дастьможливість дійти до раціоналізації його ефективності та виконання завдань щодопланування його розвитку на підґрунті економіко-математичних моделей, використанняяких, у свою чергу, дозволить урахувати недетерміновані фактори виробництва відповіднодо прийняття управлінських рішень.

При такихситуаціях в аналізі випадкових процесів із дискретними станами зручнокористуватися геометричною схемою – графом станів. Але для вирішенняпоставлених проблем доцільно розглянути математичний опис марківського процесуз дискретними станами і неперервним часом на прикладі випадкового процесу в завданняхоцінки і планування обсягів диверсифікованої продукції гірничо-збагачувальногокомбінату при комплексній розробці рудного родовища. [7,с.15].

Техніко-економічнасистема (ТЕС) ГРП (Формула), з точки зору комплексного освоєння надр, має Формуламожливих станів: Формула–аналітично-селективний стан керуючої системи, який передбачає пошукові роботищодо генерування сукупності альтернативних стратегічних напрямів розвитку(стійких станів системи) ГРП відносно можливостей випуску певної множини видівмінеральної продукції тощо; Формула– можливі робочі станисистеми; Формула, Формула– інтенсивностівхідних і вихідних потоків (попит на мінеральну продукцію та її пропозиція заодиницю часу: місяць, квартал, рік).

Імовірністю i-го стану називається ймовірність Формулатого, що в момент t система буде знаходитися в стані Формула. Очевидно, що для будь-якого моменту t сума ймовірностейусіх станів дорівнює одиниці:

Формула. (1)

Формула. (2)

Розглянемосистему в момент Формулаі, задаючи малий проміжок Формула, знайдемо ймовірність Формулатого, що система в момент Формулабуде знаходитись устані Формула. Цього можна досягти таким способом.

Система вмомент Формулаз імовірністю Формулазнаходилася в стані Формула, а за час Формулане вийшла з нього.Вивести систему з цього стану можна сумарним найпростішим потоком зінтенсивністю Формула, тобто відповідно до (2) з імовірністю, приблизно рівною Формула. А ймовірність того, що система не вийде зі стану Формула, дорівнює Формула. Імовірність того, що система буде знаходитися в стані Формулазгідно із цим способом(тобто того, що знаходилася в стані Формулаі не вийде з нього зачас Формула), дорівнює, за теоремою множення ймовірностей,

Формула. (3)

Також можнаприпустити, що система в момент Формулаз імовірностями Формула, Формула,..., Формулазнаходилася в стані Формула, Формула,..., Формулаі за час Формулаперейшла у стан Формула.

Потокомінтенсивністю Формула, Формула,..., Формуласистема перейде у стан Формулаз імовірністю,приблизно рівною Формула, Формула,..., Формула. Імовірність того, що система буде знаходитися в стані Формулазгідно із цимспособом, дорівнює Формула, Формула,..., Формула.

Застосовуючитеорему додавання ймовірностей, одержимо

Формула

звідки

Формула (4)

Спрямуємо Формулаі перейдемо до визначенняграничного показника умови задачі:

Формула (5)

Отже,наближені рівності, пов’язані із застосуванням формули (2), перейдуть у точні. Врезультаті цієї операції отримаємо в лівій частині рівняння похідну Формула(позначимо її дляпростоти Формула):

Формула. (6)

Одержанедиференціальне рівняння першого порядку містить як саму невідому функцію, так іїї похідну першого порядку.

Розмірковуючианалогічно щодо інших станів системи S,можна одержати систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностейстанів:

Формула (7)

Згідно ізправилом складання рівнянь Колмогорова система має m рівнянь і m+1невідомих. У системі (7) незалежних рівнянь на одиницю менше, ніж загальнечисло рівнянь. Тому для вирішення системи необхідно додати рівняння (1).

Особливість розв ’язання диференціальнихрівнянь узагалі полягає в тому, що потрібно задати так звані початкові умови,тобто у даному випадку ймовірності станів системи в початковий момент Формула. Так, наприклад, систему рівнянь (7) доцільно розв’язуватиза умови, що в початковий момент система знаходилася у стані Формула, тобто при початкових умовах, коли Формула.

РівнянняКолмогорова можуть надати можливості знайти всі ймовірності станів як функціїчасу. Особливий інтерес становлять імовірності системи Формулау граничномустаціонарному режимі, тобто при Формула, що називаються граничними (фінальними) ймовірностямистанів.

При цьому зтеорії випадкових процесів відомо, що якщо число станів системи є скінченим і зкожного з них можна (за кінцеве число кроків) перейти в будь-який інший стан,то граничні ймовірності існують.

Тоді граничнаймовірність стану Формуламає чіткий сенс: вонапоказує середній відносний час перебування системи в цьому стані.

Оскількивеличини граничних імовірностей не залежать від часу, то відповідні похіднідорівнюють нулю. Прирівнявши ліві частини в рівняннях Колмогорова до нуля,одержимо систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь (8) для обчисленняграничних імовірностей, де Формула– гранична ймовірністьаналітично-селективного стану системи; Формула– граничні ймовірностіможливих робочих станів системи, Формула:

Формула (8)

Система (8)побудована безпосередньо для достатньо орієнтованого графа станів, який можнабуде брати за основу складання рівнянь Колмогорова, ураховуючи стаціонарністьрежиму: ліворуч у рівняннях знаходиться сума добутків інтенсивностей усіхпотоків, що входять у i-ті стани, помноженіна ймовірності цих станів, із яких ці потоки виходять, а праворуч – граничнаймовірність даного стану Формула, помножена на сумарну інтенсивність усіх потоків, що ведутьіз даного стану.

Таким чином,можна поставити завдання визначення вагових коефіцієнтів у рейтингових оцінкахробочих станів ТЕС Формулау функції попиту намінеральну продукцію та її пропозиції, які дають можливість раціональнообґрунтувати альтернативні варіанти диверсифікованого розвитку гірничорудногопідприємства в умовах невизначеності ринку мінеральної продукції та гнучкореагувати на його потреби.

При цьому маєвиконуватися умова:

Формула. (9)

У такомувипадку розв’язок системи рівнянь (8, 9) необхідно помножити на коефіцієнтприведення до єдиних відносних одиниць:

Формула. (10)

У результатіотримаємо значення шуканих вагових оцінок стійкої роботи ТЕС ГРП відносноможливостей випуску певної множини видів мінеральної продукції:

Формула. (11)

Зрозуміло,розглянута задача в умовах ринкової економіки набуває вирішення, яке зовсімвідрізняється від тих, які пропонувалися в умовах централізованого плановогогосподарювання. Вона не може бути вирішена відразу в силу закону інерції ринку,проте об’єктивно існують усі передумови для диверсифікованості продукціїгірничорудних підприємств і за рахунок цього їх конверсії.

Разом із тимвесь комплекс працюючих і взаємодіючих між собою механізмів і машин підкерівництвом і за участю людини доцільно розглядати з єдиних позицій,використовуючи принципи кібернетики, основним серед яких є поняття «система».

Як і набудь-якому підприємстві, виробничий процес економічної системи ГРП в ціломускладається з окремих трудових процесів. Існує велика кількість конкретнихвиробничих процесів, сукупність взаємовідносин яких визначається характеромкінцевої товарної продукції та іншими виробничими особливостями (факторами). Зточки зору проблем комплексного системного економічного аналізу, приекономіко-математичному моделюванні виробничих процесів доцільно виділятиосновні, у ході яких виробляється готова продукція, що реалізується на ринку.Тому засобами науково-практичного вирішення таких завдань повинні статиекономіко-математичні моделі, що базуються на теорії конфліктних ситуацій ідають можливість визначати оптимальні змішані стратегії підприємства,орієнтовані на гарантовану середню величину прибутку при будь-якому станіпопиту на продукцію в умовах невизначеності ситуації на ринку.

Утеоретико-ігровій моделі, з одного боку, повинно бути розглянуто підприємство увигляді певного набору чистих стратегій, що представлені, наприклад, різнимасортиментом продукції, а з іншого, наприклад, представлено зовнішнєсередовище, вплив якого відображений у техніко-економічних показникахпідприємства за минулі та прогнозні періоди його діяльності.

Подальшою метоюдосліджень є моделювання теоретико-ігрової ситуації та визначення оптимальноїстратегії для кожної зі сторін, коли у загальному випадку конфліктна ситуаціямає розмірність Формула, а її вирішенням є вибір сторонами оптимальної паристратегій: Формула(Формулаі Формула), де Формула; ФормулаФормула– інтегровані ваговіпоказники ефективності чинників моделі, що дають оцінку відповідних чистихстратегій Формула. Причому Формула, Формула.

Отже,головним питанням у таких ситуаціях має бути визначення змішаної стратегії щодоефективності окремих виробничих об’єктів підприємства або його асортименту товарноїпродукції.

Формальнапостановка завдання оптимізації щодо конкретних ситуацій виробничо-економічноїдіяльності виробничого підприємства не завжди матиме всі позитивні компонентирозв’язку. Тоді прийняття управлінських рішень на основі такогоекономіко-математичного моделювання ризикової ситуації не буде раціональнообґрунтованим. Так, наприклад, стосовно гірничо-збагачувального підприємстватаке розв ’язання задачі оптимізації може помилково вказувати нанеефективність певної виробничої ланки. Проте вилучення технологічного ланцюгабудь-якої ланки ГРП може спричинити не тільки розлад всієї виробничої системи,а й загрозу її діяльності в цілому.

Разом із тимодним із традиційних підходів в аналізі виробничо-економічної діяльностіпідприємства є порівняння показників звітного та базисного періодів. У цьомузв’язку застосуємо гру Формула, у якій сторона Формуламає Формулачистих стратегій Формула, а сторона Формула-дві чистістратегії Формулаі Формула(базисний і звітнийперіоди, що характеризують діяльність підприємства).

Завизначенням показника «неефективності», коли такий є відображенням недостатньо раціональноїдіяльності підприємства Формула, яка є ключовою характеристикою її стратегії Формула, зокрема зі сторони Формулаотримує такий вигляд:

Формула.(12)

За теоремоюфон Неймана, ціна гри має вигляд:

Формула. (13)

Тобто цінагри Формуладорівнює ординатімінімальної точки верхньої обгинаючої.

На підставівищезазначеного можна сформулювати алгоритм задачі оптимізації шляхом геометричногоподання процесу моделювання змішаних стратегій відносно сторони Формулащодо пошуку ціни гри [10, с.175;11, с.363].

Оптимальнустратегію Формуласторони Формулаі ціну гри Формуламожна обчислити за такимиформулами.

Якщо черезмінімальну точку Формулаверхньої ламаної, щообгинає сімейство відрізків Формула, Формула, що утворюються чистими стратегіями Формула, Формула, сторони Формула, проходять два будь-яких відрізка Формулата Формула, Формула,

Формула, то абсциса точки Формуладорівнює

Формула, (14)

отже,

Формула, (15)

а ціна гри розраховується так:

Формула. (16)

Аналогічноможна визначити стратегію сторони Формула.

Нехай черезмінімальну точку Формулаверхньої ламаної, щообгинає сімейство відрізків Формула, Формула, що утворюються чистими стратегіями Формула, Формула, сторони Формула, проходять два будь-яких відрізка Формулата Формула, Формула, Формула.

Для того щобзмішана стратегія Формуласторони Формула, де

Формула, (17)

Формула, (18)

Формула, (19)

булаоптимальною, необхідно й достатньо, щоб відрізки Формулата Формуламали різні нахили, де Формулаі Формула-кутовікоефіцієнти відповідно відрізків Формулата Формула.

Таким чином,із вищенаведених результатів досліджень можна зробити висновок про те, що вкожної зі сторін у такій теоретичній грі Формулаіснує змішанаоптимальна стратегія, яка включає в себе не більше двох чистих стратегій.Звісно, це не означає, що в теоретико-ігровій моделі Формуламаксимальне числочистих стратегій, які використовує сторона Формулав будь-якій своїйоптимальній змішаній стратегії, дорівнює двом.

У цьомузв’язку вище було зазначено, що прийняття управлінських рішень на основі такогоекономіко-математичного моделювання ризикової ситуації не буде мати під собоюраціональної підстави, тому що, наприклад, стосовно великих монопродуктовихпідприємств таке рішення задачі оптимізації може помилково вказувати нанеефективність певної виробничої ланки, а її вилучення з технологічного процесубуде недопустимим.

Збільшеннюпотужності моделювання може сприяти підсилення досліджень щодо аналізустохастичних процесів.

Сукупністьчинників, що характеризують виробничо-господарську діяльність, можна задати увигляді багатомірного вектора, матрицею Формулакількісних оцінокстохастичних процесів, отриманих із певною надійністю прогнозу.

У нашомувипадку (при побудові економіко-математичних моделей на основі задачдослідження операцій), використавши показники (Формула, Формула), що задані матрицею гри, доцільно сформувати розширеніматриці ситуації прийняття рішень за умов стохастичної невизначеності іззаданим вектором надійності прогнозу [9, с. 27]. Отже, ураховуючистохастичність виробничо-економічних процесів гірничорудного підприємства, длякожного альтернативного рішення Формулафункціоналівоцінювання Формулазастосуємо модель (20)і отримаємо нові функціонали оцінювання:

Формула, Формула, (20)

Формула;

Формула; Формула (21)

при обмеженні

Формула, (22)

де Формула– кількісні оцінкивикористання чистих стратегій із заданою ймовірністю прогнозу, коли «природа»(економічне середовище) перебуває у своєму Формула-му стані (Формула); Формула– альтернативистратегії розвитку ГРП; Формула– стани економічногосередовища при заданій надійності прогнозу Формула; Формула– сценарії станівекономічного середовища при заданих імовірностях прогнозу; Формула-кількість сценаріївстанів економічного середовища у матрицях гри Формула; Формула-станекономічного середовища для сценарію Формулаіз кількіснимипоказниками, що відповідають їхнім математичним сподіванням Формула; Формула– мінімальне імаксимальне значення інтервалу надійності прогнозу відхилень випадковогопараметра від його середнього значення (граничні значення ризику).

Використанняосновних чинників прийняття багатоцільових рішень [9,с.26] дозволяєодержати ситуацію прийняття рішень з одним скалярним функціоналом оцінювання Формула.

Згідно зтеорією стратегії гарантованого результату (при Формула), якщо сторона Формулазастосовує змішанустратегію Формулапроти будь-якої чистоїстратегії Формуласторони Формула, то вона одержує середній результат або математичнесподівання результату:

ФормулаФормула, (23)

тобто елементи Формула-го стовпчика матриці ефективності почленно перемножуються навідповідні ймовірності стратегій Формулаі результатидодаються.

Дляоптимальної стратегії Формулавсі середні результатине менші за ціну гри Формула, а оскільки ціна гри може бути розрахована за формулою ( 16), томодель визначення змішаної стратегії є системою рівнянь:

Формула, Формула. (24)

Отже,отримана модель уже не обмежується розв’язком, який включає в себе не більшедвох чистих стратегій у всій їхній сукупності.

Важливиммоментом при розв’язанні теоретико-ігрової задачі Формулає те, що признаходженні розв’язку немає необхідності приводити матричну гру до задачі лінійногопрограмування, а визначена ціна Формулагри дає можливістьпобудувати модель визначення змішаної стратегії, що являє собою систему рівнянь(24).

При цьомуграфічне (геометричне) подання процесу моделювання змішаних стратегій дозволяє нагляднооцінити всі Формуластратегійпідприємства, включаючи й ті, що не увійшли в оптимальні у результатірозв’язання задачі, але ж мають певну цінність і важливість для підприємства.

Разом із тимнеобхідно враховувати, що хоча отримана модель уже не обмежується розв’язком,який включає в себе не більше двох чистих стратегій у всій їх сукупності, але жі не є гарантом включення всіх стратегій, із певною оцінкою значущості, узмішану стратегію підприємства. Тому постає завдання визначення субоптимальнихоцінок для всіх стратегій, які і будуть характеризувати узагальненусубоптимальну змішану стратегію підприємства. Тобто необхідно розв’язатибагатоетапну задачу оптимізації.

Візьмемо заоснову вищенаведене математичне подання процесу моделювання змішаних стратегій,які будуть визначати, на нашу думку, нову інтерпретацію розв ’язаннятеоретико-ігрової задачі Формула, із застосуванням багатоетапної оптимізації.

Отже, уданому випадку на першому етапі задача розв’язується відносно точки Формулаз ціною гри,(розрахованою за формулою (16):

Формула, (25)

де для оптимальної стратегії Формулавсі середні результатине менші за ціну гри Формула, а модель визначення змішаної стратегії є системою рівнянь,аналогічною моделі (24):

Формула, Формула. (26)

На другомуетапі стратегії Формулата Формулау змішану стратегію якоптимальні виключаються з теоретико-ігрової задачі Формула. Тому на другому етапі задача розв’язується відносно точки Формулаіз ціною гри Формула, розрахованою за формулою

Формула, (27)

де для оптимальної стратегії Формулавсі середні результатине менші за ціну гри Формула, а модель визначення змішаної стратегії є системою рівнянь

Формула, Формула, (28)

де Формула.

Нагеометричному поданні процесу багатоетапного моделювання теоретико-ігровоїзадачі Формуланаведено тільки чотириможливі чисті стратегії підприємства.

Проте узагальному випадку маємо Формулачистих стратегій.

Тому на Формула-му етапі (коли Формула-парнечисло) задача розв’язується відносно точки Формулаіз ціною гри Формула, розрахованою за формулою

Формула, (29)

де для оптимальної стратегії Формулавсі середні результатине менші за ціну гри Формула, а модель визначення змішаної стратегії є системою рівнянь

Формула, Формула, (30)

де Формула.

Якщо Формула-непарнечисло, то ціна гри визначається за останньою чистою стратегією, а її кількіснаоцінка дорівнює 1.

Таким чином,визначено Формулазмішаних стратегій,які необхідно упорядкувати відповідно до їхньої значущості:

Формула, Формула, …, Формула. (31)

У результатіупорядкування визначається узагальнена субоптимальна змішана стратегіяпідприємства Формула.

Застосувавшидо матриці Формулатеоретико-ігровоїзадачі Формулапевним чином вибрануфункцію упорядкування (узгодження), отримаємо розв’язок:

Формула, (32)

де Формула-функціяупорядкування.

У відносномувираженні отриманий розв’язок визначається за допомогою коефіцієнтів:

Формула. (33)

Вагові коефіцієнтипевного рівня оптимізації обчислюються за формулою

Формула. (34)

Тоді рішеннязадачі багатоетапної оптимізації в змішаних стратегіях маємо у виглядісубоптимальних рішень.

Отже, післязавершення розрахунків щодо визначення вагових коефіцієнтів Формулаоцінки альтернативнихваріантів комплексного освоєння надр необхідно визначити оцінки затехніко-економічними показниками та організаційно-технічними факторамивиробництва.

Бібліографічні посилання

  • Воловик В. П. Современноесостояние горно-обогатительных комбинатов Кривбасса и перспективы их развития / В. П. Воловик, Н. И. Голярчук, Е. Н. Бельченко // Металлургическая и горнорудная промышленность. – 2000. – № 4. – С 59–61; № 5. – С 80–83.
  • Федоренко С. А. О приоритетностиминерального сырья по видам и ранжировании при комплексной оценке рудныхместорождений / С. А. Федоренко, С. А. Жуков // Наук. вісн. нац. гірн. ун-ту. – 2003. – № 5. – С. 8–11.
  • Автоматизация планирования горных работ на железорудных карьерах / АстафьевЮ. П., Давидкович А. С., Бевз Н. Д., Полищук Г. К., Косенко В. И., Чернов А. П.,Глушков А. Н. – М. : Недра, 1982. – 280 с.
  • Афанасьєв І. Є. Підвищення ефективності гірничорудних підприємств шляхом удосконаленняпрогнозування якісних показників залізної руди / І. Є. Афанасьєв // Вісн.Дніпропетр. ун-ту : серія «Економіка». – Дніпропетровськ, 2012. – Т. 20, вип.6/2, № 10/1. – С. 152–158.
  • Турило А. М. Економічна оцінка інноватизації залізорудного виробництва : монограф. / А.М. Турило, О. А. Зінченко, В. Я. Нусінов. – Кривий Ріг : Вид. дім, 2006. – 200 с.
  • Исследованиеопераций в экономике / под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 1997. – 407с.
  • Ситуационное регламентирование геотехнологий с разделенными рудо потоками :монограф. / С. Жуков, Н. Горлов, Ш. Фарси, Н. Буауджа. – Кривой Рог : Минерал,2004. – 210 с.
  • АфанасьєвЄ. В. Економіко-математичне моделювання ризику ранжирування варіантівкомплексної розробки рудних родовищ / Є. В. Афанасьєв, С. О. Федоренко//Економіка: проблеми теорії та практики : зб. наук. пр. – Дніпропетровськ : ДНУ,2004. – Вип. 193 : у 5 т. – Т. 5. – С. 1253–1262.
  • ЖуковС. О. Визначення пріоритетності диверсифікованої продукції і ранжируванняваріантів конверсії рудника / С. О. Жуков, Є. В. Афанасьєв, С. О.Федоренко // Вісн. Криворізьк. техн. ун-ту. – Кривий Ріг, 2003. -Вип. 2. – С. 25–33.
  • Исследование операций в экономике : учеб. пособ. для вузов / Н. Ш.Кремер,Б. А.Путко, И. М.Тришин и др. ; под ред. проф. Н. Ш.Кремера.– М. : Банки и биржи; ЮНИТИ, 2003. – 407 с.
  • УльянченкоО. В. Дослідження операцій в економіці : підруч. для студ. вузів / Харк. нац.аграр. ун-т ім. В. В. Докучаєва. – Х. : Гриф, 2002. – 580 с.

Надійшло до редколегії 23.12.2012 р.














Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу

© Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, 2011-2015

Рейтинг@Mail.ru